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IT自救術－數碼系統的轉換

文/嚴立群 (記者) 2008-01-24

我們可以做一個10進位的電腦，但那會非常困難，而做一個2進位的電腦簡單多了，且它會做的事情和10進位電腦一樣多。

數字，只是人類發明，用來對應數量的符號。

因此，數字可以用不同形式表示，但是其所代表數量的抽象意義是相同的。例如常見的羅馬數字I、II、III、IV、V……，其實和一般的阿拉伯數字1、2、3、4、5……，或是國字的壹、貳、參、肆、伍……，都是一樣的意思。

只因為人類有10根手指頭
既然如此，且讓我們來想想，為何電腦（處理器）只能用「2進位」來做事情？

在解答這個問題之前，請先讓我們來解釋一下「10進位」是什麼。
所謂的10進位，請讓我們看一個簡單的數字：「285」。其中，2是「百位數」，８是「十位數」，5是「個位數」。

用公式表示就是：285 = 2×102 + 8×101 + 5×100。

但是，如果你真的有思考，那我得告訴你，285這符號，僅是為了簡單的描述數量用的符號，事實上，人類也可以把「每一個單一的數量都用一個單一的符號」來表示。

但那會累死人，現代數學就幾乎無法建立了。

如果你夠無聊（至少像我一樣無聊），你從1數到9（1、2、3……9），當你數到「10」的時候，請注意，其實你也可以用一個怪異的符號來代替10（像是， A），這並無損於10的數量意義。只是，10這個符號前面的「1」，實際上我們每個人都知道那其實是「1×101」。如果你硬要用A代表10，行嗎？行，只要你和其他人講話時，人家都聽得懂你說啥就行。你說「魚缸裡有A隻魚」，「我從地上撿到A塊錢」，可以的，只要別人聽得懂就行，只要他知道「原來此時A =10」就可以了。

「電子」是節能快速的基礎
表示數字，基本上是個簡單的事情。但要這些數字做運算，就牽涉複雜多的因素了。以前講過，用「算盤」做數字運算，其實是「人腦」在做運算，但至少算盤簡化了數字的記錄。後來的科學家打算做更精巧的機器，用齒輪、連桿等機械，製造一個「10進位運算機器」。當時的機械製造精密程度不足，因此這類的製造嘗試失敗了。科學家花了很長的時間才了解幾件事：

● 用「機械」的方式製造運算機器，不是不可能，但要做到極端的精密十分困難。

● 製造「10進位」的計算機器也不是不可能，但會造成這機器的設計極端複雜，同樣也幾乎不可能被製造出來。

科學家最後的結論是，「可以製造一臺最省能源、速度最快的計算機器，並且用2進位的設計即可」。

後來這個結論就是「電子計算機」。用電力驅動計算機器，是最省能源的方式（相對於科學家早早就想用的「純機械」的方法來說，電子計算機是超省能源了）。

選擇2進位只是因為「這是必要的」為何選擇「2進位」？
因為，「計算加減乘除」這些運算，事實上都是人類為了處理數量所發明出來的「動作」，這些動作用哪種數字系統來做，結果都是一樣的。選擇2進位只是因為，用來處理運算的「電子計算機」，用2進位的方式（低電位表示0，高電位表示1）來設計是最簡單的方式罷了。

電子計算機（電腦，或是處理器）實際上只是一個「運算的『模擬器』」，選擇2進位只是因為「製造技術上的需求」而已。如果你夠無聊，打算做一臺「3進位的電子計算機」，行嗎？行的，但這3進位的機器能做的事情不會多於2進位的計算機。而2進位計算機所做的任何運算，都可以同等於10進位運算。因為，設計處理器的人會設法讓它「模擬的就像是人類運算一樣」。

這稱為「超越工程學」。

所以，無論是當初還是現在，你就知道：為何學電腦，學處理器，學計算機概論，學院派的教學總是要你去學「數碼系統的轉換」，其實那只是因為：用2 進位設計電腦是「目前人類已知唯一的選擇」。會不會火星人其實用9進位來設計電腦？天曉得，雖然不無可能，但你得去問火星人才知道答案就是。

由於可用高低電位來代表0與1，人類便可據此設計模擬一般數學運算的邏輯電路。因此現代計算機科學的基礎，可說完全建立在這種「二進位運算」和「二元性電路」的特性上。幾乎所有的計算機科學相關教科書，也都假設讀的人了解這件事。當然，這個結論可能不是鐵律，你也可以辯稱這種方式的電腦無效率（什麼，只能用二進位？）。不過，到目前為止，所有的商業電腦都是用「電路和數字的二元性」來設計。如果閣下只是想了解電腦，那也暫時別去管為什麼了，先記下來就是了。想了解「為什麼二元性這麼重要」，得慢慢學，學熟了才有點概念。

常用數碼系統的介紹
但是，用2進位的方式，數字的紀錄會過於冗長，因此學電腦，學處理器的原理，我們都得先學「數碼系統的轉換」。

在此介紹一個名詞：基底（base）。

人類常用的數字是10進位，我們通常就說這是以10為基底的數字表示方式。比方說「285」，我們就知道這是二百八十五，2×102 + 8×101 + 5×100。有時候，我們會寫成(285)10，下標的10就是說這數字的基底為10，也就是說「這是10進位數字」。

一個數字可以任選基底來表示，不會影響所表現的數量意義。例如(1111)2 ＝ (15)10。首先現在來介紹一下，一般常見的數碼系統有哪些：

● 2進位：0，1，10，11，100，101，110，111，……
● 8進位：0，1，2，3，4，5，6，7，10，11，……
● 10進位：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……
● 16進位：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F，10，11，……

顧名思義，數碼系統是「以2為底」，那就是2進位。逢2進1。而「以16為底」是比較特殊的系統，因為你得用15個不同的符號來代表整個數碼系統，因此「9」後面接的是「A、B、C、D、E、F」，分別代表原先十進位的10、11、12、13、14、15。剛開始，面對數碼系統中夾雜英文，初學者大多不太習慣。不過這也沒什麼，只要看多了就習慣了。

可以有其他不同的進位系統嗎？五進位？十二進位？可以的，選擇任何數當作基底都可以。可是選擇其他的基底並沒有太大用途，相當罕用，我們就不花太多力氣在這方面的說明了。

怪異的符號只是因為他是16進位
不過，我對數碼系統的說明，打算介紹到這裡就好了。大家可以看一下「各種基底數字對照表」，就可以知道，各種基底不同的數字，雖然是表示同樣的數量，但是所謂的符號卻是不同。比方說：你突然看到「10」，但若是16進位的10，其實是等於10進位的16，也就是：(10)16 = (16)10。又或者說，(12)10 = (1100)2 = (14)8 = (C)16。

當你看到Debug裡面的奇怪的符號，其實，只不過，那都是用16進位表示的數字罷了。為何選16進位？因為用2進位表示數字太冗長。那為何一定要用2進位設計處理器？只是因為電子計算機用2進位（電位高低）的方式最容易設計。

本期結語：最後，請熟記「類比」和「數位」的真實意義
講到這裡，我們用倒推的邏輯來想：什麼是「類比」？什麼是「數位」？常聽到有人說「數位計算機」、「數位電腦」，為何不是「類比計算機」？

數位這個詞，其實只是指「用數字來表示數量」罷了。比方說，大多數手錶用指針（所指的角度）來表示時間數量，不是用數字，但是所謂的電子錶就直接顯示數字時間，簡單省事直接。

換句話說，「類比」是所謂的「依類相比」，為了表示數量，你得有個依據，用角度，用其他的物件，用繩結，用各種適合的東西來表示數字，都是類比。而「數位」只不過是用類比方式表示出來的數字本體罷了。

事實上，世界上只有類比的數字表示方式，沒有什麼絕對的數位化數字表示方式。

「這很怪哩！」

但就是如此。

手錶上的數字，實際上也是由晶片的電子訊號記錄並顯示，電子訊號就是類比的訊號（電位高低）。光碟上的訊息，是用溝槽的高低變化記錄的，這「高低變化」就是類比的。硬碟上的訊息，是用磁極的南極北極記錄的，磁極的南極北極就是類比的。

懂了這概念，你接下來的處理器理解之路，又邁進了一大步。